论数学（节选）

冯•纽曼

作者简介：John Von Neumann (1903-1957)美籍匈牙利人，数学家，被称为“计算机
之父”。

    在我看来，刻划数学特点的最有力的事实，是它和自然科学的特有联系。或者更
一般的说，它和任何一类比处于纯粹描述水准要高级一些的、能对经验作出解释的科
学的特有联系。

    大多数数学家和非数学家都将会同意，数学不是一门经验科学，或者至少可以说
它不是以某种来自经验科学技术的方法实现的，但是它的发展和自然科学却紧密相联。
它的一个主要分支几何学，实际上起源于自然科学，经验科学。某些现代科学中最大
的灵感（我认为是最大的）清楚地来源于自然科学，数学方法渗透和支配着自然科学
的许多“理论”分支。在现代经验科学中，能否接受数学方法和与数学相近的物理方
法，已愈来愈成为该学科成功与否的主要标准。确实，整个自然科学一系列不可分割
的相继现象的链，都被打上数学的标志，几乎和科学进步的理念是一致的，这也变得
越来越明显了。生物学变得更受到化学和物理渗透，这些化学是实验和理论的物理，
而物理是形式甚为数学化的理论物理。

    无可否认，在人们能想象的那部分纯粹数学中，某些最激动人心的灵感来自自然
科学，我将提及两个最值得纪念的事实。

    第一个例子是几何学。几何学是古代数学中的一个主要部分，现在仍是现代数学
中的一部分。无庸置疑，它的古代起源是经验的。欧氏的公理化处理是几何学脱离
经验向前跨出的一大步标志，但它全然不能简单地被看成是决定性的、绝对的、最终
的一步。欧氏的公理化在某些方面并不能满足现代绝对的公理化对严格性的要求。当
然这并不是主要的方面。

    尽管自欧几里得以来，几何学与经验脱离方面已经逐步地取得了进展，但是哪怕
在今天，它也决没有变得十分完备。非欧几何学的讨论提供了这方面的一个好的说明。
它也对数学思想的矛盾状态提供了一种说明，尽管这种讨论大部分发生在高度抽象的
水平上，它所处理的欧氏“第五公理”是否为其它公设的推论的纯粹逻辑问题；形式
上的论战由克莱因的纯粹数学的典范作品所总结。他证明了一个欧氏平面，可以通过
形式地重新定义某些概念而成为非欧平面。这里从开始到结束，都还是由经验促进的。

    第二个例子是微积分，或者说是由它生成的数学分析。微积分是近代数学的最早
的成果，对它的重要性，作任何估价都很难认为是过高的。尽管我认为它的确比现代
数学发端中的任何其它事物具有更多的歧义性，但是数学分析的系统，它的逻辑展开
仍然是精确思维方面最大的技术上的进步。

    微积分的起源显然是经验的，开普勒尝试着做的最早的积分，被称为“dolicho-
metry”---小桶的量度---即量度由曲面包围起来的物体的容积。这是非公理化、经验
的几何学，而不是欧几里得以后的那种几何学，开普勒是完全知道这些的。牛顿和
莱布尼茨的那些主要成果和主要发现确实起源于物理学。牛顿发明的“流数”运算，
本质是为了力学。事实上，这两门学科，微积分和力学，是由它们或多或少地结合在
一起而得到发展的。微积分的最初的一些陈述，数学上甚至可以是不严格的。一个不
精确的半物理的陈述，是牛顿以后一百五十多年来仅有的一种可供使用的陈述！没
有数学家想排斥它。那个时期确实也产生了第一流的数学。即使在本质上是由Cauchy
重建的严格性盛行之后，一种特殊的半物理方法在黎曼那里仍然得到了复萌。
黎曼的科学的个性本身就是一个数学的两重性的光辉榜样。自Weierstrass以来，
分析数学似乎变得完全抽象、严格和非经验了，其实这也不少绝对真实的。在最近两
代人中发生的有关数学和逻辑的“基础”的争论，驱散了许多关于这方面的错误的幻
想。

    这为我们带来了第三个例子，这个例子更多地是论述数学与哲学或认识的关系，
而不是数学和自然科学的关系，它用一种引人注目的方式说明“绝对的”数学严格性
的概念并不是不可改变的。严格性概念的可变性表明：在数学抽象之外的某些事物，
作为补偿不足必须进入数学。在分析关于“基础”的争论时有两件事是清楚的：第一，
已经引入某些非数学事物，这是本质的，不管它与经验科学或者哲学或者两者任何联
系，它的非经验的特点，仅当人们假设哲学能够独立于经验而存在时才能使人注意。
第二，不管关于“基础”的争论可能作出的最好解释，数学的经验来源是受到我们较
早提到的例子（几何学和微积分）的强有力地支持的。

    我希望上述的三个例子已足以说明许多最好的灵感来自于经验。很难相信，存在
着与人类所有经验相联的绝对的、不可动摇的数学严格性的概念。

    对任何数学家来说，很难相信数学是一门纯粹经验科学，或者说，所有数学概念
都来源于经验主体。现代数学中有各式各样重要部分，它的经验来源是不可追溯的。
或者说，如果可以追溯的话，也是如此间接，显然地自它割断它的经验根源之后，就
面目全非了。在有些数学领域中，数学家的主观上的成功标准和作用价值，是自身相
容、符合美学和脱离（或几乎脱离）经验。在集合论中，这更为明显。对于实变函数
论和实点集论也是如此。然而可能在十年之后，有的可能在一个世纪之后，却变得对
物理学十分有用。

    数学概念来源于经验，尽管有时系谱是长远的曲折的，这种说法是一个适当的对
真理的逼近。真理太复杂了，以致能容纳任何事物，而不是逼近。但是一旦它们被设
想出来后，这个主题开始按它自己特有的活力生长，并且在几乎完全按美学动机给出
的创造物方面；它将比任何事物，特别是经验科学来得好。但是，我相信还有问题需
要进一步强调，因为一门设想学科远离它的经验来源，或者说，如果仅是间接地来自
“现实性”，是由现实激励生成的第二或第三代学科的话，这是一个最大的危险。它
将变得愈来愈美学化，愈来愈艺术化。如果这个领域是由相关联的仍然与经验紧密相
联的学科围绕着的话，或者说，如果这些学科处于受到特殊的、训练有素的人的影响
之下的话，这不是坏事。但也有一种重大的危险，学科只沿着远离根源的流一直持续
展开下去，并且分割成多种没有意义的分支，学科将变成一种繁烦的资料堆积。换言
之，远离经验根源，一门数学学科将有退化的危险。

    在任何事件中，不管它已达到什么样的阶段，对我来说仅有的补救是回复到源泉
去：把它或多或少地重新对应到经验概念中去。我相信，这些要求过去是保持学科的
生机勃勃和有效性的必要条件，今后，它同样将仍然是正确的。